Ortskurve


Als Ortskurve wird in der Systemtheorie die graphische Darstellung einer von einem reellen Parameter abhängigen komplexen Systemgröße bezeichnet. Die komplexe Systemgröße kann z.B. ein Übertragungsverhalten eines Filters sein oder der Widerstand eines LCR-Netzwerks sein. In der Elektrotechnik ist der reelle Parameter meist die Frequenz einer Sinunsschwingung.

Eine oder mehrere Ortskurven werden in der Elektrotechnik entweder



Elektrotechnik für Ingenieure 2
Wilfried Weißgerber
http://books.google.de/books/about/Elektrotechnik_f%C3%BCr_Ingenieure_2.html?hl=de&id=atXN-iHst7MC

Ortskurve für einen RC-Tiefpass


Es soll die Ortskurve der Spannungsübertragungsfunktion eines RC-Tiefpasses berechnet werden.

Die Übertragungsfunktion lautet

Latex formula: H(\omega) = \frac{U_{out}(\omega)}{U_{in}(\omega)}

Die beiden Spannungen am Eingang und am Ausgang können als Produkt aus Strom und Widerstand geschrieben werden, wobei der Widerstand des Kondensator eine Frequenzabhängigkeit besitzt.

Latex formula: U_{out}(\omega) = i \cdot \frac{1 }{j\omega C }

Latex formula: U_{in}(\omega) = i \cdot \left( \frac{1 }{j\omega C } + R \right)

Latex formula: \omega = 2\pi f


Ortskurve für einen belasteten RC-Tiefpass mit C = 100 nF, R1 = 10 kOhm


Das passende Octave-Skript zum Plot von oben
clear;clc
R = 10E3;
C = 100E-9;

f =logspace(0,4,40); % Frequenz von 1 Hz bis 10 kHz

w = 2*pi*f; % Kreisfrequenz

% Übertragungsgleichung
Zout = 1 ./ (1i*w*C);
Zin = Zout + R;
H = Zout ./ Zin;

% Plot
plot(H,'.-');
ylabel('Im (H)')
xlabel('Re (H)')
for k=1:length(w)
    fk = round(f(k));
    text(real(H(k)),imag(H(k)), [ num2str(fk) ' Hz' ])
end
grid
axis("equal")




Ortskurve für einen belasteten RC-Tiefpass


Es soll die Ortskurve der Spannungsübertragungsfunktion eines RC-Tiefpasses (R1, C) mit ohmscher Belastung (R2) berechnet werden.

Die Übertragungsfunktion lautet allgemein

Latex formula: H(\omega) = \frac{U_{out}(\omega)}{U_{in}(\omega)}

Die beiden Spannungen am Eingang und am Ausgang können als Produkt aus Strom und Widerstand geschrieben werden, wobei der Widerstand des Kondensator eine Frequenzabhängigkeit besitzt.

Latex formula: U_{out}(\omega) = i \cdot Z_1(\omega)

Latex formula: U_{in}(\omega) = i \cdot Z_2(\omega)

wobei Z1 und Z2 komplexe Widerstände sind

Z1 ist die Parallelschaltung aus C und R2
Latex formula: Z_1(\omega) =  \frac{1 }{ \frac{1}{R_2} +  j\omega C }

Z2 ist die Serienschaltung aus R1 und Z1 (Gesamtimpedanz)
Latex formula: Z_2(\omega) =  Z_1(\omega) + R_1


Die Übertragungsfunktion lässt sich als Quotient der Impedanzen Z1 und U2 ausdrücken
Latex formula: H(\omega) = \frac{Z_1(\omega)}{Z_2(\omega)}



Ortskurve für einen belasteten RC-Tiefpass mit C = 100 nF, R1 = 10 kOhm und der Last R2 = 100 k



Das passende Octave-Skript zum Plot von oben
clear;clc
R1 = 10E3;
C = 100E-9;
R2 = 100E3;

f =logspace(0,4,40); % Frequenz von 1 Hz bis 10 kHz

w = 2*pi*f; % Kreisfrequenz

% Übertragungsgleichung
Z1 = 1 ./ ( (1./ R2) + (1i*w*C) );
Z2 = Z1 + R1;
H = Z1 ./ Z2;

% Plot
plot(H,'.-');
ylabel('Im (H)')
xlabel('Re (H)')
for k=1:length(w)
    fk = round(f(k));
    text(real(H(k)),imag(H(k)), [ num2str(fk) ' Hz' ])
end
grid
axis("equal")



Ortskurve für ein doppeltes LCR-Filter


Ein Filter bestehend aus 2 Spulen jeweils 6 uH mit einem Serienwiderstand von jeweils 30 mOhm, zwei Widerständen, zwei Elkos, einmal 2200 uF bis 50 V und 470 uF bis 100 V bilden ein zweistufiges LCR-Glied. Die Bauelemente sind so gewählt, weil es eine der wenigen Elkos waren, die eine höhere Spannung als 48 V aufweisen und diese in der Schublade meines Heimlabors lagen. Das gleiche gilt für die Spulen. Die Elkos sollten mindestens 48 V vertragen, da diese Schaltung für die Filterung der Phantomspannung eines Mischpultes verwendet wird (Projektseite). Funktioniert mit diesem Filter wunderbar!



Die Übertragungsfunktion lautet

Latex formula: H(\omega) = \frac{U_{out}(\omega)}{U_{in}(\omega)} =\frac{Z_{C2} }{ Z_{L2}+R_2+Z_{C2} \left[ \left(\frac{1}{Z_{C1} } + \frac{1}{Z_{L2}+R_2+Z_{C2} } \right) \left(Z_{L1} + R_1 \right)  + 1 \right]   }

wobei

Latex formula: Z_{C1} = \frac{1}{j\omega C_1}

Latex formula: Z_{C2} = \frac{1}{j\omega C_2}

Latex formula: Z_{L1} = j\omega L_1

Latex formula: Z_{L2} = j\omega L_2

Latex formula: \omega = 2\pi f


Ortskurve der Übertragungsfunktion, berechnet mit Octave


Frequenzgang der Übertragungsfunktion, berechnet mit Octave


Das Octave-Skript dazu
clear;clc
L  = 6E-6;
RL = 30E-3; % Serienwiderstand der Spule (gemessen 30 mV an 1 A Gleichstrom)
C1 = 2.2E-3;
C2 = 470E-6;
R1 = 1/3*10; % Drei Widerstände 10 Ohm parallel jeweils 1/4 Watt
R2 = R1;
f =logspace(-1,2.4,40); % Frequenz von 1 Hz bis 10 kHz

w = 2*pi*f; % Kreisfrequenz

% Komplexe Widerstände
s = 1i*w;
ZC1 = 1 ./ (s*C1);  
ZC2 = 1 ./ (s*C2);
ZL1  = s*L + RL;
ZL2  = ZL1;


% Übertragungsgleichung Herleitung
i1i2 = (1 ./ ZC1) .* ( ZL2 + R2 + ZC2 );
H2 = ZC2 ./ ( (i1i2 .* (ZL1 + R1)) + (2 * (ZL2 + R2)) + ZC2  );

% Übertragungsgleichung Kontrollherleitung
Z2 = ZL2 + R2 + ZC2;
H = ZC2 ./ ( Z2 .* ( ( (1 ./ ZC1) + (1 ./ Z2) ) .* (ZL1 + R1) + 1 ) );

% Ortskurve plotten
figure(1)
hold off
plot(H,'.-');
hold on
plot(H2,'.-r');

ylabel('Im (H)')
xlabel('Re (H)')
for k=1:length(w)
    fk = round(f(k)*10)/10;
    text(real(H(k)),imag(H(k)), [ num2str(fk) ' Hz' ])
end
axis("equal")
grid

% Übertragungsfunktion linear
figure(2)
plot(f,abs(H),'.-')
ylabel('|H(f)|')
xlabel('f (Hz)')
grid

% Übertragungsfunktion logarithmisch
figure(3)
plot(f,20*log(abs(H)),'.-')
ylabel('|H(f)|')
xlabel('f (Hz)')


Frequenzgang der Übertragungsfunktion aus einer Simulation mit Spice zur Kontrolle







Siehe auch ElektroTechnik

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