Die Pseudoinverse
Allgemeingültige Berechnung der Pseudoinversen: Die Matrix A wird adjungiert (also transponiert und komplex konjunngiert) und einmal invertiert. Der Rest ist dann drei Mal Matrizenmultiplikation.
{{lf code="A^{\sharp} = (A^{*} \cdot A)^{-1} \cdot A^{*}"}}
1. Test mit Octave
Generiere eine Matrix A mit 4x3 Elementen des komplexen Körpers (mit kompl. Zahlen)
Prüfe vorher ob A aus linear unabhängigen Vektoren besteht.
Bilde die Pseudoinverse
oder so ;)
2. Anwendung
Least-Squares-Fit mit der Pseudoinversen
Betrachtet wird die Funktion
ys= 5*x.^2 + 7*x - 50 + .5*exp(x)
im Intervall [-10,8]
clc
x=-10:.5:8;
x=x';
ys= 5*x.^2 + 7*x - 50 + .5*exp(x);
y = ys + randn(size(ys))*20; % Rauschen hinzufügen
plot(x,y,'x');
grid;
o=ones(size(x));
A = [ x.^2 x o exp(x) ]; % Die Theoretisch angenommene Funktion y=f(x)
b=pinv(A)*y %Lösungdes Gleichungsystems
yp = b(1)*x.^2 + b(2)*x + b(3) + b(4)*exp(x); % Die Lösung
hold on
plot(x,ys,'y');
plot(x,yp,'r');
legend('Data points','Original function','Fitted function')
hold off
x=-10:.5:8;
x=x';
ys= 5*x.^2 + 7*x - 50 + .5*exp(x);
y = ys + randn(size(ys))*20; % Rauschen hinzufügen
plot(x,y,'x');
grid;
o=ones(size(x));
A = [ x.^2 x o exp(x) ]; % Die Theoretisch angenommene Funktion y=f(x)
b=pinv(A)*y %Lösungdes Gleichungsystems
yp = b(1)*x.^2 + b(2)*x + b(3) + b(4)*exp(x); % Die Lösung
hold on
plot(x,ys,'y');
plot(x,yp,'r');
legend('Data points','Original function','Fitted function')
hold off
b = 4.97414 7.55254 -50.54712 0.50782
3. Vereinfachungen der Berechnung für besondere Matrizen
mit Octave-Beispielen
Allgemeingültige Berechnung der Pseudoinversen: Die Matrix A wird adjungiert (also transponiert und komplex konjunngiert) und einmal invertiert
(A* x A)-1 x A*
A=rand(4,3)+1i*rand(4,3)
Ai1 = inv(A'*A)*A' % Zu Fuß
Ai2 = pinv(A)
norm(Ai1-Ai2,2) % Vergleiche den Fahler
Ai1 = inv(A'*A)*A' % Zu Fuß
Ai2 = pinv(A)
norm(Ai1-Ai2,2) % Vergleiche den Fahler
Vereinfachung für quadratische Matrizen NxN
(A x A)-1 x A
A=rand(4,4)+1i*rand(4,4)
Ai1 = inv(A*A)*A % Zu Fuß
Ai2 = pinv(A)
norm(Ai1-Ai2,2) % Vergleiche den Fahler
Ai1 = inv(A*A)*A % Zu Fuß
Ai2 = pinv(A)
norm(Ai1-Ai2,2) % Vergleiche den Fahler
Vereinfachung für Matrizen mit rein reelen Koeffizienten
(AT x A)-1 x AT
Siehe auch •