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Die Pseudoinverse
Allgemeingültige Berechnung der Pseudoinversen: Die Matrix A wird adjungiert (also transponiert und komplex konjunngiert) und einmal invertiert. Der Rest ist dann drei Mal die Matrizenmultiplikation.
(A* x A)-1 x A*
1. Test
Tests für reele Zahlen
Tests für imaginäre Zahlen
2. Anwendung
Least-Squares-Fit mit der Pseudoinversen mit der Pseudoinversen
Betrachtet wird die Funktion
ys= 5*x.^2 + 7*x - 50 + .5*exp(x)
im Intervall [-10,8]
clc
x=-10:.5:8;
x=x';
ys= 5*x.^2 + 7*x - 50 + .5*exp(x);
y = ys + randn(size(ys))*20; % Rauschen hinzufügen
plot(x,y,'x');
grid;
o=ones(size(x));
A = [ x.^2 x o exp(x) ]; % Die Theoretisch angenommene Funktion y=f(x)
b=pinv(A)*y %Lösungdes Gleichungsystems
yp = b(1)*x.^2 + b(2)*x + b(3) + b(4)*exp(x); % Die Lösung
hold on
plot(x,ys,'y');
plot(x,yp,'r');
legend('Data points','Original function','Fitted function')
hold off
x=-10:.5:8;
x=x';
ys= 5*x.^2 + 7*x - 50 + .5*exp(x);
y = ys + randn(size(ys))*20; % Rauschen hinzufügen
plot(x,y,'x');
grid;
o=ones(size(x));
A = [ x.^2 x o exp(x) ]; % Die Theoretisch angenommene Funktion y=f(x)
b=pinv(A)*y %Lösungdes Gleichungsystems
yp = b(1)*x.^2 + b(2)*x + b(3) + b(4)*exp(x); % Die Lösung
hold on
plot(x,ys,'y');
plot(x,yp,'r');
legend('Data points','Original function','Fitted function')
hold off
b = 4.97414 7.55254 -50.54712 0.50782
3. Vereinfachungen der Berechnung für besondere Matrizen
mit Octave-Beispielen
Allgemeingültige Berechnung der Pseudoinversen: Die Matrix A wird adjungiert (also transponiert und komplex konjunngiert) und einmal invertiert
(A* x A)-1 x A*
%(matlab)
A=rand(4,3)+1i*rand(4,3)
Ai1 = inv(A'*A)*A' % Zu Fuß
Ai2 = pinv(A)
norm(Ai1-Ai2,2)
Verinfachung für quadratische Matrizen NxN (A x A)""<sup>-1<sup>"" x A %(matlab) A=rand(4,4)+1i*rand(4,4) Ai1 = inv(A*A)*A % Zu Fuß Ai2 = pinv(A) norm(Ai1-Ai2,2)
Verinfachung für Matrizen mit rein reelen Koeffizienten
(AT x A)-1 x AT
%(matlab)
A=rand(4,3)
Ai1 = inv(A.'*A)*A.' % Zu Fuß
Ai2 = pinv(A)
norm(Ai1-Ai2,2)
%%
Siehe auch •